基于信息熵的Markov网络结构学习算法研究
1 引言
日常生活中人们常需要处理不确定信息，例如：预测明天是否会下雨，病人是否得了某种疾病。Bayesian网是进行不确定性推理的有力工具，被广泛应用于人工智能、专家系统、数据挖掘等领域，是当前研究的热点。利用Bayesian网可以推理不确定性知识，从而达到较好效果。
Markov网是类似于Bayesian网的另一种进行不确定性推理的有力工具。Markov网是一个无向图，构造时无需发现边的方向，要比构造Bayesian网容易得多。首先构造Markov网，再求出与之等价的Bayesian网。本文提出一种基于信息熵的方法构造Markov网，给出一个有效的基于信息独立测试的Markov网的构造算法，该算法是一种基于依赖分析的算法。在测试样本中的条件独立时，利用信息论中验证信息独立的一个重要结论，从而大大提高效率。为衡量构造的Markov网的好坏，引入I-图、D-图和P-图的概念。
2 依赖模型与MarkOV网
知识可以用一组条件独立和条件概率表示，Markov网(无向图)用于表示条件独立。下面主要讨论如何用Markov网表示一个依赖模型M(一组条件独立的集合)以及如何衡量Markov网的好坏(引入I-图、D-图和最小P-图)。
定义1：依赖模型M定义为一组条件独立的集合，设X，Y，Z是全集U的3个不相交的子集，M={I(X，Z，y)}。其中的I(X，Z，y)表示在给定Z的条件下，X独立于Y，即：p(X|Y，Z)=p(X|Z)和p(Y|X，Z)=p(Y|Z)。
定理1：依赖模型M中的I(X，Z，y)满足以下4个性质，设X，Y，Z是全集U的3个不相交的子集，
(1)对称性：I(X，Z，Y)XXXXXXI(Y，Z，X)；
(2)分解律：I(X，Z，Y∪W)=》I(X，Z，Y)＆I(X，Z，W)；
(3)弱归并律：I(X，Z，Y∪W)→I(X，Z，∪W，Y)；
(4)减缩律：I(X，Z，y)&I(X，Z，∪Y，W)→I(X，Z，Y∪W)若联合概率函数p严格为正，Vx，p(x)>0，则相交律成立。
(5)相交律：I(X，Z，∪W，Y)＆I(X，Z，∪Y，W)→I(X，Z，Y∪W)给定一个依赖模型M，利用无向图中节点分割的概念表示依赖模型中的条件独立。
定义2：在有向无环图G中，X，Y，Z是U上3个不相交的子集，删去节点集Z及其相应的边，使节点集X，Y之间再无边相连，称Z将X，Y分割开，记为
定义3：设M为依赖模型，I(X，y，Z)M表示依赖模型M所蕴含的依赖关系(条件独立)I(X，y，Z)。无向图G=(V，E)为M的I-图、D-图、P-图，定义如下：
(1)G是M的I-图(独立图)，当
(2)G是M的D-图(依赖图)，当
(3)G是M的P-图(理想图)，当
由上述定义可知，I-图不一定包含依赖模型M所蕴含的所有依赖关系，但I-图中蕴含的依赖关系M中一定蕴含；D-图恰好相反，D-图包含依赖模型M所蕴含的所有依赖关系，但D-图中蕴含的依赖关系M中不一定蕴含；P-图是最理想的情况，P-图与M形成一一对应关系。空图(不含任何边的无向图)是一个平凡的D-图，而完全图(包含所有边的无向图)是一个平凡的I-图。
定义4：设一个无向图G是M的一个I-图，若删除G中任何一条边后，使得G不再是M的I-图，则称G为M的最小I-图。显然，最小I-图能够最多地表示依赖模型M中的依赖关系。
定理2：满足对称性、分解性、相交律和弱归并律的依赖模型M,从完全图中删除所有条件独立性成立的边，则产生一个唯一的最小I-图。
3 信息熵概述
