卡尔曼滤波器的计算

• 　　首先，引入一个离散控制过程的系统。该系统可用一个线性随机微分方程（Linear Stochastic Difference equatiON）来描述：

  　　X(k)=A X(k-1)+B U(k)+W(k)

  　　再加上系统的测量值：

  　　Z(k)=H X(k)+V(k)

  　　上两式子中，X(k)是k时刻的系统状态，U(k)是k时刻对系统的控制量。A和B是系统参数，对于多模型系统，他们为矩阵。Z(k)是k时刻的测量值，H是测量系统的参数，对于多测量系统，H为矩阵。W(k)和V(k)分别表示过程和测量的噪声。他们被假设成高斯白噪声(White Gaussian Noise)，他们的covariance 分别是Q，R（这里假设不随系统状态变化而变化）。

  　　对于满足上面的条件(线性随机微分系统，过程和测量都是高斯白噪声)，卡尔曼滤波器是最优的信息处理器。下面我们来用他们结合他们的covariances 来估算系统的最优化输出（类似上一节那个温度的例子）。

  　　首先利用系统的过程模型，来预测下一状态的系统。假设现在的系统状态是k，根据系统的模型，可以基于系统的上一状态而预测出现在状态：

  　　X(k|k-1)=A X(k-1|k-1)+B U(k) ……….. (1)

  　　式(1)中，X(k|k-1)是利用上一状态预测的结果，X(k-1|k-1)是上一状态最优的结果，U(k)为现在状态的控制量，如果没有控制量，它可以为0。

  　　到现在为止，我们的系统结果已经更新了，可是，对应于X(k|k-1)的covariance还没更新。我们用P表示covariance：

  　　P(k|k-1)=A P(k-1|k-1) A’+Q ……… (2)

  　　式(2)中，P(k|k-1)是X(k|k-1)对应的covariance，P(k-1|k-1)是X(k-1|k-1)对应的covariance，A’表示A的转置矩阵，Q是系统过程的covariance。式子1，2就是卡尔曼滤波器5个公式当中的前两个，也就是对系统的预测。

  　　现在我们有了现在状态的预测结果，然后我们再收集现在状态的测量值。结合预测值和测量值，我们可以得到现在状态(k)的最优化估算值X(k|k)：

  　　X(k|k)= X(k|k-1)+Kg(k) (Z(k)-H X(k|k-1)) ……… (3)

  　　其中Kg为卡尔曼增益(Kalman Gain)：

  　　Kg(k)= P(k|k-1) H’ / (H P(k|k-1) H’ + R) ……… (4)

  　　到现在为止，我们已经得到了k状态下最优的估算值X(k|k)。但是为了要另卡尔曼滤波器不断的运行下去直到系统过程结束，我们还要更新k状态下X(k|k)的covariance：

  　　P(k|k)=（I-Kg(k) H）P(k|k-1) ……… (5)

  　　其中I 为1的矩阵，对于单模型单测量，I=1。当系统进入k+1状态时，P(k|k)就是式子(2)的P(k-1|k-1)。这样，算法就可以自回归的运算下去。

  　　卡尔曼滤波器的原理基本描述了，式子1，2，3，4和5就是他的5 个基本公式。根据这5个公式，可以很容易的实现计算机的程序。