椭圆曲线加密的硬件实现
关键词：FPGA;多项式有限域;椭圆曲线加密系统
加密的安全性
从数论的角度来说,任何公钥密码系统都建立在一个NP(无法处理的问题)的基础上,即对于特定的问题,没有办法找到一个多项式时间算法求解该问题。一般求解此类问题的算法都是指数时间或者亚指数时间,例如现在常用的RSA算法就是基于大整数因式分解问题的难解性。经过近三十多年的研究,RSA算法虽然并不存在多项式时间的算法,但是可以找到亚指数时间的算法,目前其密钥长度必须大于1024位才能保证信息传递的安全,而椭圆曲线加密系统 (Elliptic Curve Cryptosystem—ECC) 是目前已知的所有公钥密码体制中能够提供最高比特强度 (Strength-Per-Bit) 的一种公钥体制,只需要160的密钥就可以达到1024位RSA算法提供的安全等级。其根据是有限域上的椭圆曲线上的点群中的离散对数问题(ECDLP),许多密码专家认为它是指数级的难度。因此对于椭圆曲线加密系统来说,这一点从计算量、处理速度、存储空间和通信带宽等角度分析,椭圆曲线加密系统都有很大的优势。IEEE已经制定的公钥加密算法标准P1363就是基于ECC算法的。现在密码学界普遍认为它将替代RSA成为通用的公钥密码算法,目前已成为研究的热点,是很有前途的研究方向。
图2 密钥、数据交换
图4 椭圆曲线加密系统FPGA电路模块框图
图5 验证系统结构
椭圆曲线加密体制
椭圆曲线
引进Non-supersingular椭圆曲线Weierstrass方程E:Y2+XY=X3+aX2+c其中a,c∈GF(2k),c≠0。为简化以后的运算,引进z使X=x/z;Y=y/z,则椭圆曲线方程化为E:y2z+xyz=x3+ax2z+cz3,定义(x, y, z)=λ(x, y, z)。可以看出当z≠0,(X, Y)和(x, y, z)相对应,当z=0可以理解为沿y轴趋向无穷远,定义为无穷远点O。则椭圆曲线上所有的点外加无穷远点构成的集合构成一个Abel群,O是单位元(零元)。在椭圆曲线E上定义了两种点运算：点运算和点运算。
1) 椭圆曲线上点运算定义为：设P=( x1, y1, 1)∈E,Q=( x2, y2, 1) ∈E,-P=( x1, y1+ x1, 1), 当Q≠-P时 PQ=(x3, y3, z3) 则
当P≠Q时：
其中A=(x2z1+x1),B=(y2z1+y1), C=A+B,D=A2(A+a2z1)z1BC
当P=Q时：
其中
2) 椭圆曲线上的点运算定义为：设P=(x1, y1, 1)∈E,(ltlt-1...l0)2是整数l的二进制表示形式,lP=PPAP=Q且Q∈E。
利用上面的点运算,得点算法实现如图1所示。定义l=logpQ,若P的周期很大,则利用l、P求Q是比较容易的,但利用P、Q求l是很难处理的,这就是ECDLP,椭圆曲线加密就是建立在这个难题之上。
加密体制
在Diffe-Hellman公钥系统体制中,具体的椭圆曲线、曲线上点P及P的周期大素数N都是公开信息。
A和B要进行通讯,首先得到椭圆曲线E、点P及素数N。然后用户A将[1,N-1]中随机选取的整数a作为私钥,A将KpubA=aP作为自己的公钥传送给用户B,与此同时B将 [1,N-1]中随机选取的整数b作为私钥,并将KpubB=bP作为自己的公钥传送给A。A、B各自将自己的私钥点乘于对方传过来的公钥得到KAB,这样就完成了密钥的交换过程。当用户A需要将待传数据m传送
